JUST ME: Oktober 2010

Senin, 25 Oktober 2010

Kasus Linier Programing

Studi Kasus

Perusahaan Olympic memproduksi meja belajar dan lemari. Bahan untuk membuat kedua jenis produk tersebut adalah kayu, cat, dan baut. Tentukanlah jumlah meja belajar dan lemari yang harus diproduksi untuk mendapatkan keuntungan maksimum, jika: Keuntungan penjualan meja belajar Rp. 40 (dalam ribuan), dan keuntungan penjualan lemari adalah Rp. 60 (dalam ribuan).

Kayu yang tersedia 100 meter, cat yang tersedia 50 liter kaleng, dan baut yang tersedia 60 buah.

Tabel 3.1 Data Pengamatan Perusahaan Olympic

No		Produksi
	Bahan	Meja belajar	Lemari	Bahan yang tersedia
1	Kayu	10	5	100
2	Cat	4	5	50
3	Baut	5	7	60
5	Keuntungan	40 (dalam ribuan)	60 (dalam ribuan)

Data diatas akan diselesaikan menggunakan linier programing metode grafik dan metode simplek

Perhitungan Manual

1. Formulasi:

a. Variable keputusan:

X₁= Banyaknya jumlah meja belajar yang diproduksi.

X₂ = Banyaknya jumlah lemari yang didiproduksi.

b.Fungsi tujuan:

Memaksimumkan penerimaan total.

Maksimum Z = 40 X₁+ 60 X₂

c. Fungsi kendala:

Kayu = 10 X₁+ 5 X₂ ≤ 100

Cat = 4 X₁+ 5 X₂ ≤ 50

Baut = 5 X₁ + 7 X₁ ≤ 60

Nonnegatif = X₁≥ 0, X₂ ≥ 0

2.Metode grafik: misal X₁: missal X₂:

a. 10 X₁+ 5 X₂ ≤ 100 (10,0) (0,20)

4 X₁+ 5 X₂ ≤ 50 (12,5,0) (0,10)

5 X₁ + 7 X₁ ≤ 60 (12,0) (0,8,5)

Gambar grafik:

Gambar 3.1 Grafik Manual

Titik koordinat B:

10 X₁+ 5 X₂ ≤ 100 (7) 70 X₁ + 35 X₂ = 700

5 X₁+ 7 X₂ ≤ 60 (5) 25 X₁ + 35 X₂= 300 -

45 X₁ + 0 = 400

X₁ = 400 : 45

X₁ = 8,88

Untuk mencari X₂

70 X 8,88 + 35 X₂ = 700

621,6 + 35 X₂ = 700

35 X₂= 700 – 621,6

35 X₂= 78,4

X₂ = 78,4 : 35

X₂ = 2,24

Titik koordinat: Z = 40 X₁ + 60 X₂

A (0,8,57) Z = 0 + 514,2 = 514,2 (nilai maksimum)

B (8,88,2,24) Z = 335,2 + 134,4 = 469,6

C (10,0) Z = 400 + 0 = 400

D (0,0) Z = 0 + 0 = 0

3. Merode simpleks:

Tabel 3.2 Simpleks

VB	Z	X₁	X₂	X₃	X₄	X₅	NK
Z	1	-40	-60	0	0	0	0
X₃	0	10	5	1	0	0	100
X₄	0	4	5	0	1	0	50
X₅	0	5	7	0	0	1	60

Perhitungan untuk mendapatkan X₂:

5 : 7 = 0,7, 7 : 7 = 1, 0 : 7 = 0, 0 : 7 = 0, 1 : 7 = 0,1, 60 : 7 = 8,57

X₂ = 0,7 1 0 0 0,1 8,57

(Z) = [-40 -60 0 0 0 0]

-60 [0,7 1 0 0 0,1 8,57] -

2 0 0 0 6 514,2

(X₃) = [10 5 1 0 0 100]

5 [0,7 1 0 0 0,1 8,57] -

6,5 0 1 0 -0,5 57,1

(X₄₎= [4 5 0 1 0 50]

5 [0,7 1 0 0 0,1 8,57] -

0,5 0 0 1 -0,5 7,15

Tabel 3.3 Simpleks

VB	Z	X₁	X₂	X₃	X₄	X₅	NK
Z	1	2	0	0	0	6	514,2
X₂	0	0,7	1	0	0	0,1	8,57
X₃	0	6,5	0	1	0	-0,5	57,1
X₅	0	0,5	0	0	1	-0,5	7,1

Proses pengerjaan dengan menggunakan metode simpleks telah selesai karena nilai yang dihasilkan Z bernilai + (positif), Profit maksimum Rp. 510 (dalam ribuan), dan jumlah dari X₁ (meja belajar) dan X₂(lemari) yang diproduksi adalah 8,5 unit (dalam ribuan).

Contoh Kasus Metode Transportasi

Studi Kasus

Perusahaan air mineral ingin mendistribusikan produk terbarunya ke empat agen yang menjadi pelanggan perusahaan air mineral tersebut dan ingin mendistribusikannya ke beberapa kota di Indonesia dengan biaya atar kepada para agen di hitung dengan jarak tempat agen tersebut setiap per galonnya. Berikut biaya pengiriman produk tersebut dalam bentuk rupiah(Rp):

Tabel 3.1 Data Transportasi

Ke Dari	Cilegon	Kuningan	Bandung	Padang	Supply
Agen 1	110	90	95	75	6300
Agen 2	80	75	120	80	4750
Agen 3	95	100	65	115	5450
Agen 4	70	85	75	90	6500
Demand	5200	5500	6000	6300	23000

Selesaikan dengan menggunakan :

a. Metode North West Corner (NWC)

b. Metode Least Cost

c. Metode Aproksimasi Vogel (VAM)

d. Metode Aproksimasi Russel (RAM)

Perhitungan Manual

Menyelesaikan masalah biaya tranportasi pengantaran air mineral setiap galonnya dengan menggunkan empat metode, dengan menggunkan metode north west corner, least cost, metode aproksimasi vogel (VAM), dan metode aproksimasi Russel (RAM), sebagai berikut :

A. Metode North West Corner

Pengalokasian dimulai dari pojok barat laut (pojok kiri atas) Selanjutnya pengalokasian dilakukan pada kotak Xi+1j bila penawaran ke i telah terpenuhi.

Tabel 3.2 Metode North West Corner

Ke Dari	Cilegon	Kuningan	Bandung	Padang	*Supply*
Agen 1	110 5200	90 1100	95	75	6300
Agen 2	80	75 4400	120 350	80	4750
Agen 3	95	100	65 5450	115	5450
Agen 4	70	85	75 200	90 6300	6500
*Demand*	5200	5500	6000	6300	23000

Z = 5200(110)+1100(90)+4400(75)+350(120)+5450(65)+200(75)+6300(90)

= 572000+99000+330000+42000+354250+15000+567000

= Rp.1979250

Perhitungan manual dengan menggunakan metode northwest corner biaya pendistribusian air mineral dari pabrik air mineral kepada empat agen yang terdapat di empat kota sebesar Rp.1979250

Cara perhitungan North West Corner sebagai berikut:

North West Corner perhitungannya dimulai dari pojok kanan atas table, lalu pilih jumlah supply atau demand yang terkecil setelah didapat simpan di kiri angka yang dicari, selanjutnya dilakukan pada kotak yang berikutna jika supplydan demand telah terpenuhi.

B. Metode Least Cost

Pengalokasian dimulai pada kotak variabel dengan biaya terendah. Selanjutnya pengalokasian dilakukan pada kotak variabel terendah berikutnya. Berikut adalah perhitungan dengan metode Least Cost.

Tabel 3.3 Metode Least Cost

Ke Dari	Cilegon	Kuningan	Bandung	Padang	*Supply*
Agen 1	110	90	95	75 6300	6300
Agen 2	80	75 4750	120	80	4750
Agen 3	95	100	65 5450	115	5450
Agen 4	70 5200	85 750	75 550	90	6500
*Demand*	5200	5500	6000	6300	23000

Z = 5200(70)+4750(75)+750(85)+5450(65)+550(75)+6300(75)

= 364000+356250+63750+354250+41250+472500

= Rp.1652000

Perhitungan manual dengan menggunakan metode Least Cost biaya pendistribusian air mineral dari pabrik air mineral kepada empat agen yang terdapat di empat kota sebesar Rp.1652000

Cara perhitungan Least Cost sebagai berikut:

Mencari nilai terendah dari table, dan pengalokasian supply dan demand terkecil pula.

C. Metode Aproksimasi Vogel (VAM)

Metode aproksimasi vogel adalah merupakan metode yang paling baik dari tingkat ketelitiannya. Adapun perhitungan manual dengan menggunakan metode aproksimasi vogel adalah sebagai berikut:

Tabel 3.4 Metode Aproksimasi Vogel (VAM)

Ke Dari	Cilegon	Kuningan	Bandung	Padang	Supply	*Penalty*
Agen 1	110	90	95	75 6300	6300	15	15	15	15	-
Agen 2	80	75 4750	120	80	4750	5	5	5	5	75
Agen 3	95	100	65 5450	115	5450	35	-	-	-	-
Agen 4	70 5200	85 750	75 550	90	6500	5	5	15	5	85
*Demand*	5200	5500	6000	6300	23000
*Penalty*	10	10	10	5
	10	10	20	5
	10	10	-	5
	-	10	-	5
	-	10	-	-

Z = 5200(70)+4750(75)+750(85)+5450(65)+550(75)+6300(75)

= 364000+356250+63750+354250+41250+472500

= Rp.1652000

Perhitungan manual dengan menggunakan metode Metode Aproksimasi Vogel biaya pendistribusian air mineral dari pabrik air mineral kepada empat agen yang terdapat di empat kota sebesar Rp.1652000

Cara perhitungan Metode Aproksimasi Vogel sebagai berikut:

Dengan melihat nilai selisih antara veriabel dengan biaya terendah setelah itu memilih baris atau kolom dengan nilai terbesar. Pengalokasian dengan biaya terendah pada baris atau kolom dalam table.

D. Metode Aproksimasi Russel (RAM)

Metode RAM merupakan metode yang terakhit yang digunakan pada perhitungan pada metode tersebut.

Tabel 3.4 Metode Aproksimasi Russel (RAM)

Ke Dari	Cilegon	Kuningan	Bandung	Padang	Supply
Agen 1	110	90	95	75 3600	6300
Agen 2	80 4750	75	120	80	4750
Agen 3	95	100	65 5450	115	5450
Agen 4	70 450	85 5500	75 550	90	6500
*Demand*	5200	5500	6000	6300	23000

Tabel 3.5 Metode Aproksimasi Russel Interasi

110-110-110= -110

80-110-120= -150

95-110-150= -130

70-110-90= -130

90-100-110= -120

75-100-120= -145

100-100-115= -115

85-100-90= -105

95-120-110= -135

120-120-120= -120

65-120-115= -170

75-120-90= -135

75-115-110= -150

80-115-120= -155

115-115-115= -115

90-115-90= -115

Z = 4750(80)+450(70)+5500(85)+5450(65)+550(75)+6300(75)

= 380000+31500+467500+354250+41250+472500

= Rp.1747000

Perhitungan manual dengan menggunakan metode Metode Aproksimasi Russel biaya pendistribusian air mineral dari pabrik air mineral kepada empat agen yang terdapat di empat kota sebesar Rp.1747000

Cara perhitungan Metode Aproksimasi Russel sebagai berikut:

Pengurangan dari mulai pojok kana atas antara nilai terbesar pada baris dan kolom, setelah didapat pilih nilai dari hasli pengurangan dengan mengambil nilai terrendah berupa nilai negatif (-).